Calculadora de Matrizes Online Gratuita
Calculadora online profissional e gratuita de matrizes para realizar operações matemáticas básicas com matrizes. Suporte para adição, subtração, multiplicação de matrizes, cálculo de determinante e matriz inversa com soluções passo a passo.
Operações Básicas com Matrizes
Adição e Subtração de Matrizes: realizadas elemento por elemento para matrizes de dimensões iguais. O elemento resultante C[i,j] = A[i,j] ± B[i,j]. Essas operações são comutativas e associativas, tornando-as simples de calcular.
Multiplicação de Matrizes: possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. O elemento da matriz resultante C[i,j] é calculado como o produto escalar da i-ésima linha da matriz A pela j-ésima coluna da matriz B.
Determinante de Matriz e Suas Propriedades
O determinante é uma característica numérica de uma matriz quadrada que determina suas propriedades fundamentais. Para uma matriz 2×2, o determinante é calculado pela fórmula det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁. Para matrizes maiores, utiliza-se a expansão por linha ou coluna.
Propriedades do Determinante: o determinante de uma matriz identidade é igual a 1, permanece inalterado na transposição, muda de sinal quando as linhas são trocadas e é linear em cada linha e coluna. Se det(A) = 0, a matriz é chamada de singular.
Matriz Inversa e Métodos de Cálculo
A matriz inversa A⁻¹ existe apenas para matrizes quadradas não singulares (det(A) ≠ 0). Ela satisfaz a condição A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = E, onde E é a matriz identidade. Principais métodos de cálculo: método dos cofatores e eliminação de Gauss-Jordan.
Método dos Cofatores: A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A), onde adj(A) é a matriz adjunta composta por cofatores. Este método é eficiente para matrizes de tamanhos pequenos até 4×4.
Transposição de Matrizes
A matriz transposta Aᵀ é obtida trocando linhas por colunas: (Aᵀ)[i,j] = A[j,i]. Propriedades principais: (Aᵀ)ᵀ = A, (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ, (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, det(Aᵀ) = det(A).
Aplicações de Matrizes na Matemática e Ciência
Sistemas de Equações Lineares: resolvidos usando métodos matriciais. O sistema Ax = b tem uma solução única x = A⁻¹b se det(A) ≠ 0. A regra de Cramer usa determinantes para encontrar soluções.
Transformações Lineares: matrizes descrevem rotações, escalonamentos e reflexões no espaço. A composição de transformações corresponde à multiplicação de matrizes. Autovetores e autovalores caracterizam direções invariantes das transformações.
Gráficos e Modelagem 3D: matrizes de transformação são usadas para rotacionar, escalonar e mover objetos. Matrizes de projeção convertem coordenadas 3D em coordenadas de tela 2D.
Métodos Numéricos e Complexidade Computacional
O cálculo do determinante tem complexidade O(n³) ao usar decomposição LU. O cálculo direto pela definição tem complexidade O(n!), tornando-o ineficiente para matrizes grandes. O método de Gauss fornece velocidade de cálculo ideal.
Estabilidade Computacional: o uso de pivoteamento parcial melhora a precisão ao trabalhar com números de ponto flutuante. O número de condição de uma matriz caracteriza a sensibilidade da solução a erros nos dados de entrada.
Tipos Especiais de Matrizes
Matrizes Simétricas: A = Aᵀ, possuem autovalores reais e autovetores ortogonais. Amplamente utilizadas em otimização e estatística.
Matrizes Ortogonais: AᵀA = E, preservam comprimentos de vetores e ângulos entre eles. O determinante é igual a ±1. Representam rotações e reflexões sem mudança de forma.
Matrizes Diagonais: elementos não nulos apenas na diagonal principal. Fáceis de inverter, o determinante é igual ao produto dos elementos diagonais.
Dicas Práticas para Trabalhar com Matrizes
Ao inserir matrizes, verifique a correção das dimensões para a operação selecionada. Para multiplicação de matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Use ponto decimal para números fracionários.
Calculadora online gratuita de matrizes é a ferramenta ideal para estudantes, engenheiros e cientistas. Cálculos instantâneos com soluções passo a passo para melhor compreensão da álgebra matricial!